বৃত্ত: একটি বিন্দুকে কেন্দ্র করে সমান দূরত্ব বজায় রেখে অন্য একটি বিন্দু তার চারদিকে একবার ঘুরে এলে যে গোলাকার ক্ষেত্র তৈরি হয় তাকে বৃত্ত বলে।
চিত্রে, ABC একটি বৃত্ত। এর কেন্দ্র O ।
কেন্দ্র: বৃত্ত আঁকার সময় যে নির্দিষ্ট বিন্দুর চারদিকে একটি বিন্দু ঘুরে বৃত্ত তৈরি হয় সেই নির্দিষ্ট বিন্দুকে বৃত্তের কেন্দ্র বলে।
চিত্রে, ABC বৃত্তের কেন্দ্র O ।
ব্যাস: বৃত্তের কেন্দ্রগামী সকল জ্যা কেই বৃত্তের ব্যাস বলে। একটি বৃত্তের অসংখ্য ব্যাস থাকে।
চিত্রে, AB ও CD দুটি ব্যাস।
★ ব্যাস হলো বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
★ ব্যাস বৃত্তকে দুইটি অর্ধবৃত্তে বিভক্ত করে।
★ ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ।
(১)ব্যাসার্ধ: বৃত্তের ব্যাসের অর্ধাংশকে ব্যাসার্ধ বলে।
(২)ব্যাসার্ধ: বৃত্তের কেন্দ্র হতে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলে।
চিত্রে,OB এবং OD দুটি ব্যাসার্ধ।
(১)পরিধি: বৃত্তের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্যকে পরিধি বলে।
(২)পরিধি: বৃত্তের সম্পূর্ণ বক্ররেখাটিকে পরিধি বলে।
(৩)পরিধি: বৃত্তের পরিসীমার দৈর্ঘ্যকে পরিধি বলে।
★ বৃত্তের পরিধি = 2πr (এখানে r = ব্যাসার্ধ)
(১) জ্যা: পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাকে জ্যা বলে।
(২) জ্যা: বৃত্তচাপের শেষ প্রান্তের দুটি বিন্দুর সংযোজক
সরলরেখাকে জ্যা বলে।
চিত্রে, AB ও CD দুটি জ্যা।
★বৃত্তের ব্যাসই হচ্ছে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
(১)বৃত্তচাপ/চাপ: জ্যা দ্বারা বিভক্ত বৃত্তের প্রত্যেক অংশকে বৃত্তচাপ বলে।
(২)বৃত্তচাপ/চাপ: বৃত্তের পরিধির যে কোন অংশকে চাপ বলে।
চিত্রে, CD, ABC বৃত্তের একটি চাপ।
★ যে কোন জ্যা বৃত্তকে দুইটি চাপে বিভক্ত করে।
★ যদি চাপ দুইটি সমান হয় তবে প্রতিটি চাপকে অর্ধবৃত্ত বলা হয়।
★ চাপ দুইটি অসমান হলে , বৃহত্তরটিকে অধিচাপ এবং ক্ষুদ্রতরটিকে উপচাপ বলা হয়।
(১) অর্ধবৃত্ত: অর্ধবৃত্ত হচ্ছে ব্যাস ও একটি চাপ (যা ব্যাস এর শেষ বিন্দুদ্বয়ের সাথে সংযুক্ত) দ্বারা বেষ্টিত অংশ।
ব্যাস একুটি বৃত্তকে সমান দুটি ভাগে বিভক্ত করে যার প্রতিটি অর্ধবৃত্ত।
(২) অর্ধবৃত্ত: দুইটি চাপ পরস্পর সমান হলে প্রতিটি চাপকে অর্ধবৃত্ত বলা হয়।
(১)অধিচাপ: অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বড় চাপকে অধিচাপ বলা হয়।
(২)অধিচাপ: বৃত্তের উপর অবস্থিত দুইটি বিন্দু বৃত্তটিকে যে দুইটি চাপে বিভক্ত করে , তারা যদি অসমান হয় তবে বৃত্তের বড় চাপকে অধিচাপ বলা হয় ।
★ বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ।
অর্থাৎ, ৯০° অপেক্ষা ছোট কোণ।
(১)উপচাপ: অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ছোট চাপকে উপচাপ বলা হয়।
(২)উপচাপ: বৃত্তের উপর অবস্থিত দুইটি বিন্দু বৃত্তটিকে যে দুইটি চাপে বিভক্ত করে , তারা যদি অসমান হয় তবে বৃত্তের ছোট চাপকে উপচাপ বলা হয় ।
★বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থুলকোণ।
অর্থাৎ, ৯০° অপেক্ষা বড় কোণ।
বৃত্তকলা: একটি চাপ ও চাপের প্রান্তবিন্দু সংশ্লিষ্ট ব্যাসার্ধ দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রকে বৃত্তকলা বলা হয়।
চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধির ওপর A ও B দুইটি বিন্দু হলে ⟨AOB এর অভ্যন্তরে AO ও OB ব্যাসার্ধ এবং AB চাপের সংযোগে গঠিত একটি বৃত্তকলা।
বৃত্তক্ষেত্র: বৃত্ত দ্বারা সীমাবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রকে বৃত্তক্ষেত্র বলা হয়। আর বৃত্তটিকে এরূপ বৃত্তক্ষেত্রের সীমারেখা বলা হয়।
চিত্রে, ABC বৃত্তক্ষেত্রের সীমারেখা ©ABC ।
লম্ব-দূরত্ব: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা এর দূরত্বকে বলা হয় ঐ জ্যা এর লম্ব-দূরত্ব।
চিত্রে, OM, PQ জ্যা এর লম্ব-দূরত্ব।
★★বৃত্তের ছেদক ও স্পর্শক:
সমতলে একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক দুইটি ছেদবিন্দু থাকতে পারে।
বৃত্তের ছেদক: সমতলস্থ একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার যদি দুইটি ছেদবিন্দু থাকে, তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি ছেদক বলা হয়।
চিত্রে PQ সরলরেখাটি বৃত্তকে A ও B দুইটি বিন্দুতে ছেদ করেছে।
বৃত্তের স্পর্শক: সমতলস্থ একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার যদি একটি ও কেবল একটি সাধারণ বিন্দু থাকে, তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি স্পর্শক বলা হয়।
সুতরাং, PQ বৃত্তটির স্পর্শক ও A এই স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু।
সাধারণ স্পর্শক: একটি সরলরেখা যদি দুইটি বৃত্তের স্পর্শক হয়, তবে তাকে বৃত্ত দুইটির একটি সাধারণ স্পর্শক বলা হয়।
চিত্র:১
চিত্র:২
চিত্রে, AB উভয় বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক।
(১)পরিবৃত্ত:ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুগামী বৃত্তকে পরিবৃত্ত বলে।
(২)পরিবৃত্ত:একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তকে বলা হয় পরিবৃত্ত ।
(৩)পরিবৃত্ত: যে বৃত্তটি কোন বহুভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে আঁকা হয়, তাকে পরিবৃত্ত বলা হয়।
★ পরিবৃত্তের কেন্দ্রকে বলা হয় পরিকেন্দ্র।
(১)অন্তর্বৃত্ত: ত্রিভুজের বাহুত্রয়কে স্পর্শকারী বৃত্তকে অন্তর্বৃত্ত বলা হয়।
(২)অন্তর্বৃত্ত: যে বৃত্তটি কোন বহুভুজের প্রতিটি বাহুকে স্পর্শ করে, ঐ বৃত্তকে বহুভুজটির অন্তর্বৃত্ত বলা হয়।
★অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্রকে বলা হয় অন্তঃকেন্দ্র।
বহির্বৃত্ত:ত্রিভুজের একটি বাহুর ওপর বাহিরে ও অপর দুই বাহুর বর্ধিতাংশকে স্পর্শকারী বৃত্তকে বহির্বৃত্ত বলা হয়।
(১) কেন্দ্রস্থ কোণ:কোন বৃত্তচাপের প্রান্তদ্বয় হতে সৃষ্ট দুটি সরলরেখা বৃত্তের কেন্দ্র মিলিত হলে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে কেন্দ্রস্থ কোণ বলে।
(২) কেন্দ্রস্থ কোণ: একটি কোণের শীর্ষবিন্দু কোনাে বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হলে, কোণটিকে ঐ বৃত্তের একটি কেন্দ্রস্থ কোণ বলা হয় এবং কোণটি বৃত্তে যে চাপ খণ্ডিত করে সেই চাপের ওপর তা দণ্ডায়মান বলা হয়।
চিত্রে, ⟨AOB কোণটি একটি কেন্দ্রস্থ কোণ এবং তা APB চাপের ওপর দণ্ডায়মান।
★কেন্দ্রস্থ কোণ হল কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ।
★কেন্দ্রস্থ কোণ = বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
বৃত্তস্থ কোণ: একটি কোণের শীর্ষবিন্দু কোনো বৃত্তের একটি বিন্দু হলে এবং কোণটির প্রত্যেক বাহুতে শীর্ষবিন্দু ছাড়াও বৃত্তের একটি বিন্দু থাকলে কোণটিকে একটি বৃত্তস্থ কোণ বলা হয়।
চিত্রে, বৃত্তস্থ কোণটি APB চাপের ওপর দণ্ডায়মান এবং ACB চাপে অন্তর্লিখিত।
★ প্রত্যেক বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত করে। এই চাপ উপচাপ, অর্ধবৃত্ত অথবা অধিচাপ হতে পারে।
★ বৃত্তস্থ কোণ বা পরিধিস্থ কোণ হল পরিধির সাথে লেগে থাকে যে কোণ।
★বৃত্তস্থ কোণ = কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
★ একটি বৃত্তস্থ কোণ = একই চাপের আরেকটি বৃত্তস্থ কোণ।
★★বৃত্ত অঙ্কন সম্পর্কিত অনুসিদ্ধান্ত:
(১) একই সরল রেখায় অবস্থিত নয় এরূপ তিনটি বিন্দু দিয়ে একটি মাত্র বৃত্ত আঁকা যায়।
(২) একই সরল রেখায় অবস্থিত এরূপ তিনটি বিন্দু দিয়ে কোন বৃত্ত আঁকা সম্ভব নয়।
(৩) দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত আঁকা সম্ভব।
★★চাপ সম্পর্কিত অনুসিদ্ধান্ত:
(৪) বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলাে পরস্পর সমান।
(৫) বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
অথবা, বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
অর্থাৎ, একই চাপের উপর যে কেন্দ্রস্থ কোণটি উৎপন্ন হয় তা বৃত্তস্থ দুটি কোণের যোগফলের সমান।
(৬) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ বা ৯০°
★★জ্যা সম্পর্কিত অনুসিদ্ধান্ত:
(৭) বৃত্তের কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
(৮) বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
(৯) বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
(১০) বৃত্তের সমান জ্যা এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত।
(১১) বৃত্তের দুটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দুটি হল বৃত্তের কেন্দ্র এবং জ্যা দু’টি বৃত্তের ব্যাস।
(১২) বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন অন্য কোন জ্যা এর মধ্যবিন্দু এবং কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব।
(১৩) বৃত্তের দুটি জ্যা এর মধ্যে কেন্দ্রের নিকটতর জ্যা-টি
অপর জ্যা অপেক্ষা বৃহত্তর।
অথবা,বৃত্তের দুটি জ্যা এর মধ্যে বৃহত্তর জ্যা -টি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতর।
(১৪) বৃত্তের ব্যাসই হলো বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
(১৫) বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে তাদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান।
★★স্পর্শক সম্পর্কিত অনুসিদ্ধান্ত:
(১৬) বৃত্তের (বহিস্থ) যে কোন বিন্দুতে একটি মাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
(১৭) বৃত্তের স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব
কেন্দ্রগামী।
(১৮) বৃত্তের যে কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
(১৯) কেন্দ্র থেকে যে কোন সরলরেখা বৃত্তের মাত্র একটি বিন্দুতে ছেদ করে।
(২০) একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক দুটি ছেদবিন্দু থাকতে পারে।
(২১) বৃত্তের বহিস্থ কোন বিন্দু থেকে বৃত্তে শুধুমাত্র দুটি স্পর্শক টানা সম্ভব এবং ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব(পরস্পর) সমান।
★★দুটি বৃত্ত পরস্পর স্পর্শ করলে:
(২২) দুটি বৃত্ত পরস্পর স্পর্শ করলে, তাদের কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শবিন্দু সমরেখ হবে।
(২৩) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে,কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান হবে।
(২৪) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে,কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান হবে।
★★দুটি বৃত্তের সাথে সাধারণ স্পর্শক সম্পর্কিত অনুসিদ্ধান্ত:
(২৫) দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে একটি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যায়।
(২৬) দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করলে দুইটি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যায়।
(২৭) দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে তিনটি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যায়।
(২৮) দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে চারটি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যায়।
★বৃত্তের আরো গুরুত্বপূর্ণ তথ্য:
(১) ব্যাস একটি বৃত্তকে সমান দুটি ভাগে বিভক্ত করে যার প্রতিটি অর্ধবৃত্ত।
(২) যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে কেবলমাত্র দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে।
(৪) বৃত্ত একটি বিশেষ ধরনের উপবৃত্ত, যার উপকেন্দ্রদ্বয় সমবিন্দু।
(৫) বৃত্ত একটি আবদ্ধ বক্ররেখা বিধায় যে কোনো বৃত্তীয় স্থানকে অন্তস্থ এবং বহিস্থ এই দুই ভাগে ভাগ করে। এদের মধ্যে অন্তস্থ অঞ্চলটি সসীম এবং বহিস্থ অংশটি অসীম। অন্তস্থ অঞ্চলটি চাকতি হিসেবেও পরিচিত ।
(৬) প্রাকৃতিক বৃত্ত, যেমন: চাঁদ, সূর্য ইত্যাদি।
(৭) প্রতিটি বৃত্তের আকৃতি অভিন্ন।
(৮) বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত একটি ধ্রূব সংখ্যা, একে π দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
(৯) যদি ত্রিভূজ দিয়ে একটা বৃত্ত কে কভার করতে চায় ,তাহলে ৬ টা ত্রিভূজ লাগে।যেহেতু সমবাহূ ত্রিভূজের প্রতিটা কোণের পরিমাপ ৬০ ডিগ্রি করে।
★ বৃত্ত সংক্রান্ত বিভিন্ন সূত্র:
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^2 (এখানে r ব্যাসার্ধ)
বৃত্ত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr^2 বর্গ একক।
বৃত্তের পরিধি = 2πr (এখানে r = ব্যাসার্ধ)
